磁结构描述：磁空间群方法

casjxm

       磁结构的晶体学方法主要基于两种描述方式：磁构型的对称不变性（磁空间群，通常称为Shubnikov群）以及常规晶体空间群的群表示理论。
      
        磁空间群方法几乎只用于公度磁结构的情形，并且通常仅限于描述这类构型所具有的对称不变性；而表示理论则更为通用，可应用于所有类型的磁结构。

磁点群、磁格子与磁空间群
       定义仅由两个元素组成的时间反演群：R={1,1′}。任意晶体学磁群 M 均可构造为晶体学群 G 与 R 的外直积的子群：M⊂G⊗R，其中 G 本身是一种磁群（无色群）。形如 P=G+G1′ 的顺磁群（灰群） 也是磁群。
        
       两带撇元素的乘积必为不带撇元素，由此导出构造其他磁群（黑白群”）的基本引理：从晶体学群 G 导出的磁群，可通过选取其指数为2的子群H （即G的阶为H的阶的两倍）构造：H 的元素为不带撇算符；剩余算符 G−H 需乘以时间反演算符 1′。此处子群 H 在 G 中的指数定义为 (H/G)=n(G)/n(H)（即 G 的阶与 H 的阶之比）。磁群 M 与子群 H⊂G（指数为2）的关系为：M=H+(G-H)1’。此构造适用于所有群类型：点群、平移群、空间群。即使无磁群表，也可通过查阅《国际晶体学表》A卷（ITA）轻松构造磁群——因ITA已列出所有空间群的指数为2的子群。

       以点群 G=4/m（阶数为8）为例。其指数为2的子群包括：H1=4，H2=-4，和H3=2/m：

        由此可导出四个磁点群：

        
磁点群：
       总共可构造32个无色磁点群：与32个晶体学点群完全相同；32个顺磁群（“灰群”）：形式为 P=G+G1′（G为晶体点群）和58个黑白磁点群：由指数为2的子群构造。有个很重要的概念：“可容许磁点群”，在磁有序系统中，有些磁点群是不容许的：禁止顺磁群：因顺磁态无磁矩有序排列；禁止部分无色/黑白群：某些群的操作会强制磁矩为零。如群 M3=4′/m，若磁矩沿四重轴 → 4′（自旋反转）破坏对称性，若磁矩在镜面内 → m（自旋反转）破坏对称性，该群无法保持非零磁矩，故为非可容许群。仅有31个可容许磁点群能描述真实磁有序态，其允许的磁矩方向如下表：

        

磁格子：
        在三维空间中，平移群由三个非共面向量 {a1,a2,a3} 生成，这些向量称为晶胞基矢（晶体学惯例记为 {a,b,c})。
原始布拉维晶格：平移群由基矢的整数线性组合构成：

  

      
       平移群总可用初基晶胞描述，但为简化对称算符表达式，常采用有心基矢。通过选取平移群 T 的指数为2的子群L⊂T 构造磁晶格，抑制半数平移（如取 l1=2n），得到子群 L，其晶胞基矢扩大为 a1′=2a1。满足 =n(T)/n(L)=2（即 T 的阶为 L 的阶的两倍）。并将丢失的平移 (T−L) 与时间反演算符 1′关联，于是构造形式为M_L=L+(T-L)1’的磁晶格，其中 1′ 表示时间反演操作（自旋反转）。
      
磁空间群:
       通过将构造引理应用于布拉维晶格和空间群，共得到 1651类Shubnikov群（磁空间群）：
无色群（"单色群"）：230个，形式为 M0=G（与晶体空间群同构）
灰群（顺磁群）：230个，形式为 P=G+G1′（含时间反演复合操作）
黑白群：1191个，形式为 M=H+(G−H)1′（部分操作关联自旋反转）
BW1类（674个）：子群 H⊂G 与母群有相同平移群（磁晶胞=化学晶胞）
BW2类（517个）：平移子群含反平移，即平移与自旋反转算符 1′ 的组合。BW2类群中，晶格平移 t 与自旋反转 1′ 结合为 t′，导致磁晶胞体积扩大（如初基晶胞→体心晶胞）。