磁结构轴矢量与时间反演对称

casjxm

时间反演对称
        假设读者已熟悉晶体学及晶体点群与空间群。晶体结构中使用的对称算符同样可用于研究磁结构的不变性：此时，我们不仅需考虑点原子的位置，还需考虑与每个点原子关联的属性——该属性由轴矢量（即一个被电流回路环绕的箭头）表示。为研究磁构型的不变性，需引入一种新算符，通常称为自旋反转或时间反转。此算符作用于作为“经典轴矢量”的磁矩上，其操作是改变电流回路的方向，从而使磁矩方向反转。我们将该算符记为 1′，它仅作用于磁矩/自旋，而不影响原子位置：1′ • m = −m。其标记方式与晶体群相同，但需附加 1′符号（例如 P bnm1′）。在磁有序系统中，自旋反转算符可与常规对称算符组合。此类组合算符称为带撇算符，表示在应用“不带撇算符”后需对自旋进行反转。

轴矢量在广义运动算符作用下的行为
        在传统三维欧几里得空间中，轴矢量本质上是二阶反对称张量。这些张量的三个独立分量可写作矢量分量，但与极矢量不同，其方向依赖于参考系的手性。典型极矢量包括粒子位置矢量、速度、加速度及静电场等；而轴矢量在运动算符（平移、真旋转与非真旋转、滑移面、螺旋轴）作用下的行为与极矢量存在本质差异。

        任意对称算符（在特定参考系中可表示为正交矩阵）对轴矢量的作用形式与极矢量相似，但需额外乘以矩阵的行列式。若涉及带撇算符，则需再乘以 -1。一般算符g={h|t_h+n}（_表示下标）作用于原点晶胞内原子 rj（磁矩为 mj）的变换规则如下：
        位置变换：

变换后原子位置 rj′平移等价于零晶胞中标记为 i 的原子位置。矢量 agj 称为回返矢量（其反向可将变换后原子移回零晶胞）。
        
        磁矩变换：
磁矩变换只应用了算符的旋转部分：

         其中h 为算符的旋转部分，det(h)为旋转矩阵的行列式，符号因子δ=+1（不带撇算符），δ=−1（带撇算符）。当且仅当g 是晶体空间群的对称算符，且满足 mj′=mi（变换后磁矩等于目标原子磁矩），算符 g 才是磁有序系统的对称算符。